\subsection{数据表}
Unless otherwise stated, in the following problems, use the device data shown in Table 2.1 and assume $V_{\rm DD} = 3\;\rm V$
where necessary.

\begin{center}
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/Table_2_1.pdf}
\end{center}

$\varepsilon_{\rm Si} = 11.7\varepsilon_0$，$\varepsilon_{\rm ox} = 3.9\varepsilon_0$\\
$C_{\rm ox} = {\varepsilon_{\rm ox}}/{t_{\rm ox}} = 3.84 \times 10^{-3} \;\rm V/m^2$


\subsection{习题2.1}

For $W/L = 50/0.5$, plot the drain current of an NFET and a PFET 
as a function of $|V_{\rm GS}|$ as $|V_{\rm GS}|$ varies from 0 to 3 V.
Assume that $|V_{\rm DS}|= 3\;\rm V$ 


\subsubsection{NMOS}

$$
I_{\rm D} = \left\{
\begin{aligned}
    &0, & 0 < V_{\rm GS} < V_{\rm TH}  \\
    &\frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2}\frac{W}{L} \left[2(V_{\rm GS}-V_{\rm TH})V_{\rm DS} - V_{\rm DS}^2\right],  
    &V_{\rm DS} < V_{\rm GS} - V_{\rm TH},\; V_{\rm GS} > V_{\rm TH} > 0 \\
    &\frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2}\frac{W}{L}(V_{\rm GS}-V_{\rm TH})^2 ( 1+\lambda V_{\rm DS} ),
    &V_{\rm DS} > V_{\rm GS} - V_{\rm TH},\; V_{\rm GS} > V_{\rm TH} > 0 \\
\end{aligned}
\right.
$$

将Table 2.1所示数据代入上式，得到：
$$
I_{\rm D} = \left\{
\begin{aligned}
    &0, & V_{\rm GS} < 0.7{\;\rm V} \\
    &67.14\times 10^{-4} {\;\rm F/(V\cdot s)} \cdot \left[2(V_{\rm GS}-0.7{\;\rm V})\cdot 3{\;\rm V} - 9{\;\rm V^2}\right],  
    & V_{\rm GS} > 3.7{\;\rm V} \\
    &87.28\times 10^{-4} {\;\rm F/(V\cdot s)} \cdot (V_{\rm GS}-0.7{\;\rm V})^2,
    &3.7{\;\rm V}>V_{\rm GS} > 0.7{\;\rm V} \\
\end{aligned}
\right.
$$

由此可绘制NMOS的$I_{\rm D} - V_{\rm GS}$ 关系图如图 \ref{fig:NMOS中ID与VGS关系曲线} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 10cm,
            xlabel={$|V_{\rm GS}|\quad[{\rm V}]$},
            ylabel={$|I_{\rm D}|\quad[{10^{-2}\;\rm A}]$}
        ]
        \addplot[domain=0.0:0.7, color=blue, thick] {100*0};
        \addplot[domain=0.7:3.0, color=blue, thick] {100*8.7282*0.001*(x-0.7)^2};
        %\addplot[domain=3.7:5.0, color=blue, thick] {100*0.04028*(x-2.2)};
    \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{NMOS中$I_{\rm D}$与$V_{\rm GS}$关系曲线}
    \label{fig:NMOS中ID与VGS关系曲线}
\end{figure}

\subsubsection{PMOS}
$$
|I_{\rm D}| = \left\{
\begin{aligned}
    &0, & 0 > V_{\rm GS} > V_{\rm TH} 
    \\
    &\frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2}\frac{W}{L} \left[2(V_{\rm GS}-V_{\rm TH})V_{\rm DS} - V_{\rm DS}^2\right],  
    &V_{\rm DS} > V_{\rm GS} - V_{\rm TH},\; V_{\rm GS} < V_{\rm TH} < 0
    \\
    &\frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2}\frac{W}{L}(V_{\rm GS}-V_{\rm TH})^2,
    &V_{\rm DS} < V_{\rm GS} - V_{\rm TH},\; V_{\rm GS} < V_{\rm TH} < 0
    \\
\end{aligned}
\right.
$$

将Table 2.1所示数据代入上式，得到：
$$
|I_{\rm D}| = \left\{
\begin{aligned}
    &0, & |V_{\rm GS}| < 0.8{\;\rm V}
    \\
    &1.918\times 10^{-3} {\;\rm F/(V\cdot s)} \cdot \left[2(V_{\rm GS}+0.8{\;\rm V})\cdot (-3{\;\rm V}) - 9{\;\rm V^2}\right],  
    & |V_{\rm GS}| > 3.8{\;\rm V}
    \\
    &2.493\times 10^{-3} {\;\rm F/(V\cdot s)} \cdot (V_{\rm GS}+0.8{\;\rm V})^2,
    &3.8{\;\rm V}>|V_{\rm GS}|> 0.8{\;\rm V}
    \\
\end{aligned}
\right.
$$

由此可绘制PMOS的$I_{\rm D} - V_{\rm GS}$ 关系图如图 \ref{fig:PMOS中ID与VGS关系曲线} 所示
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 10cm,
            xlabel={$|V_{\rm GS}|\quad[{\rm V}]$},
            ylabel={$|I_{\rm D}|\quad[{10^{-2}\;\rm A}]$}
        ]
        \addplot[domain=0.0:0.8, color=blue, thick] {100*0};
        \addplot[domain=0.8:3.0, color=blue, thick] {100*2.493*0.001*(-x+0.8)^2};
    \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{PMOS中$I_{\rm D}$与$V_{\rm GS}$关系曲线}
    \label{fig:PMOS中ID与VGS关系曲线}
\end{figure}

\subsection{习题2.3}
Derive expressions for $g_{\rm m}r_{\rm o}$ in terms of $I_{\rm D}$ and $W/L$.\\
Plot $g_{\rm m}r_{\rm o}$ as a function of $I_{\rm D}$ with $L$ as a parameter.
Note that $\lambda \propto 1/L$.

已知：
\begin{align*}
    g_{\rm m} &= \sqrt{2\mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} I_{\rm D}}, &
    r_{\rm o} &= 1 \bigg/ \left[\frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} (V_{\rm GS}-V_{\rm TH})^2 \lambda\right]
    \approx \frac{1}{\lambda\cdot I_{\rm D}}
\end{align*}
可得：
$$
g_{\rm m}r_{\rm o} = \sqrt{2\mu_nC_{\rm ox}\frac{W}{L}} \cdot \frac{1}{\lambda \sqrt{I_{\rm D}}}
$$
由于 $\lambda\propto 1/L$ 可假定 $\lambda = k/L$，则：
$$
g_{\rm m}r_{\rm o} = \sqrt{2\mu_nC_{\rm ox}W} \cdot \sqrt{\frac{L}{I_{\rm D}}}
$$
据此可绘制以 $L$ 为变参的 $g_{\rm m}r_{\rm o} - I_{\rm D}$ 曲线如图 \ref{fig:以L为变参的gmro-ID关系图} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 10cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$I_{\rm D}$}, ylabel = {$g_{\rm m}r_{\rm o}$},
            xmin = 0, xmax=3, ymin=0, ymax=35
        ]
            \addplot[thick, samples=100,domain=0.3:2.5,color=red  ] {10*sqrt(1/x)};
            \addplot[thick, samples=100,domain=0.3:2.5,color=blue ] {10*sqrt(2/x)};
            \addplot[thick, samples=100,domain=0.3:2.5,color=black] {10*sqrt(3/x)};
            \legend{$L=L_0$, $L=2L_0$, $L=3L_0$}
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{以$L$为变参的$g_{\rm m}r_{\rm o}-I_{\rm D}$关系图}
    \label{fig:以L为变参的gmro-ID关系图}
\end{figure}

\subsection{习题2.5}
Sketch $I_{\rm X}$ and the transconductance of the transistor as a function of $V_{\rm X}$ for each circuit in Fig. \!2.47 
as $V_{\rm X}$ varies from 0 to $V_{\rm DD}$.
In part (a), assume that $V_{\rm X}$ varies from 0 to 1.5 V.

\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{figures/Figure_2_47.pdf}
\end{center}

\subsubsection{Part (a)}
由电路图可得：$V_{\rm GS} = V_{\rm DS} = V_{\rm DD} - V_{\rm X}$\\
由 Table 2.1 可得： $V_{\rm TH} = 0.7 \;\rm V$

当 $V_{\rm GS} = V_{\rm DD} - V_{\rm X} > V_{\rm TH}$ 即 $0 < V_{\rm X} < 2.3 \;\rm V$ 时为饱和区
\begin{align*}
    &I_{\rm X} = I_{\rm D} = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} (V_{\rm DD} - V_{\rm X} - V_{\rm TH})^2 \\
    &g_{\rm m} = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} (V_{\rm DD} - V_{\rm X} - V_{\rm TH})
\end{align*}
由于题给条件 $V_{\rm X} < 1.5 \;\rm V$，因此最终结果如上所示

%当 $V_{\rm GS} = V_{\rm DD} - V_{\rm X} < V_{\rm TH}$ 即 $V_{\rm X} > 2.3 \;\rm V$ 时为截止区
%\begin{align*}
%&I_{\rm X} = I_{\rm D} = 0 &
%&g_{\rm m} = \frac{\partial I_{\rm D}}{ \partial V_{\rm GS}} = 0
%\end{align*}

\subsubsection{Part (b)}
在 $V_{\rm X} > 1\;\rm V$ 时 $V_{\rm GS} = 0.9\;\rm V > V_{\rm TH}$，$V_{\rm DS} = V_{\rm X} - 1\;\rm V$\\
在$V_{\rm X} < 1{\;\rm V}$ 时NMOS源漏对调，$V_{\rm GS} = 1.9{\;\rm V} - V_{\rm X}$，$V_{\rm DS} = 1{\;\rm V} - V_{\rm X}$

\begin{enum}
    \item 当 $0{\;\rm V} < V_{\rm X} < 1  {\;\rm V}$ 时为线性区（源漏对调）
        \begin{align*}
            &I_{\rm X} = -I_{\rm D} 
                       = -\frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \big[2(V_{\rm GS} - V_{\rm TH})V_{\rm DS} - V_{\rm DS}^2\big]
                       = -\frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \big[2(1.2{\;\rm V} - V_{\rm X})(1{\;\rm V} - V_{\rm X})
                       - (1{\;\rm V} - V_{\rm X})^2\big]\\
            &g_{\rm m} = \frac{\partial I_{\rm X}}{\partial V_{\rm GS}}
                       = -\mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} V_{\rm DS}
                       = -\mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} \cdot (1{\;\rm V} - V_{\rm X})
        \end{align*}
    \item 当 $1{\;\rm V} < V_{\rm X} < 1.2{\;\rm V}$ 时为线性区
        \begin{align*}
            &I_{\rm X} = I_{\rm D} 
                       = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \big[2(V_{\rm GS} - V_{\rm TH})V_{\rm DS} - V_{\rm DS}^2\big]
                       = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \big[0.4{\;\rm V}\cdot(V_{\rm X} - 1{\;\rm V})
                       - (V_{\rm X} - 1{\;\rm V})^2\big]\\
            &g_{\rm m} = \frac{\partial I_{\rm X}}{\partial V_{\rm GS}}
                       = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} V_{\rm DS}
                       = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} (V_{\rm X} - 1{\;\rm V})
        \end{align*}
    \item 当 $1.2 \;\rm V < V_{\rm X} < 3.0{\;\rm V} $ 时为饱和区
        \begin{align*}
            &I_{\rm X} = I_{\rm D}
            = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2}\frac{W}{L} (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})^2
            = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2}\frac{W}{L} \cdot 0.04{\;\rm V^2}\\
            &g_{\rm m} = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})
                       = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} \cdot 0.2{\;\rm V}
        \end{align*}
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 8cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$I_X$},
            xmin = 0, xmax=3.5, ymin=-1.5, ymax=0.1,
            legend style={at={(0.05,0.85)}, anchor=north west}
        ]
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=1.2:3.0] {0.04};
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=1.0:1.2] {0.4*(x-1)-(x-1)^2};
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=0.0:1.0] {-2*(1.2-x)*(1-x)+(1-x)^2};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \hspace{2cm}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 8cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$g_{\rm m}$},
            xmin = 0, xmax=3.5, ymin=-1.2, ymax=0.3,
            legend style={at={(0.05,0.85)}, anchor=north west}
        ]
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=0.0:1.0] {-(1-x)};
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=1.0:1.2] {x-1};
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=1.2:3.0] {0.2};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{习题2.5(b)答案草图}
    \label{fig:习题2.5(b)答案草图}
\end{figure}

\subsubsection{Part (c)}
在$V_{\rm X} < 1.9{\;\rm V}$ 时NMOS源漏对调，$V_{\rm GS} = 1{\;\rm V} - V_{\rm X}$，$V_{\rm DS} = 1.9{\;\rm V} - V_{\rm X}$\\
在$V_{\rm X} > 1.9{\;\rm V}$ 时 $V_{\rm GS} = -0.9{\;\rm V} < 0$ 无漏极电流

\begin{enum}
\item 当 $0<V_{\rm X}<0.3{\;\rm V}$ 时为饱和区（源漏对调）
    \begin{align*}
        &I_{\rm X} = -I_{\rm D}
                   = -\frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \cdot (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})^2
                   = -\frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \cdot (0.3{\;\rm V} - V_{\rm X})^2 \\
        &g_{\rm m} = \frac{\partial I_{\rm D}}{\partial V_{\rm GS}}
                   = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} \cdot (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})
                   = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} \cdot (0.3{\;\rm V} - V_{\rm X})
    \end{align*}
\item 当 $0.3{\;\rm V} < V_{\rm X} < 1.9{\;\rm V}$ 时为截止区（源漏对调）
    \begin{align*}
        &I_{\rm X} = -I_{\rm D} = 0 &
        &g_{\rm m} = \frac{\partial I_{\rm D}}{\partial V_{\rm GS}} = 0
    \end{align*}
\item 当 $1.9{\;\rm V} < V_{\rm X} < 3.0{\;\rm V}$ 时为截止区
    \begin{align*}
        &I_{\rm X} = I_{\rm D} = 0 &
        &g_{\rm m} = \frac{\partial I_{\rm D}}{\partial V_{\rm GS}} = 0
    \end{align*}
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 8cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$I_X$},
            xmin = 0, xmax=3.5, ymin=-0.1, ymax=0.1,
            legend style={at={(0.05,0.85)}, anchor=north west}
        ]
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=0.0:0.3] {-(0.3-x)^2};
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=0.3:3.0] {0};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \hspace{2cm}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 8cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$g_{\rm m}$},
            xmin = 0, xmax=3.5, ymin=-0.35, ymax=0.35,
            legend style={at={(0.05,0.85)}, anchor=north west}
        ]
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=0.0:0.3] {-(0.3-x)};
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=0.3:3.0] {0};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{习题2.5(c)答案草图}
    \label{fig:习题2.5(c)答案草图}
\end{figure}

\subsubsection{Part (d)}
当 $V_{\rm X} > 1.9{\;\rm V}$ 时 $V_{\rm GS} = 1{\;\rm V} - V_{\rm X}$，$V_{\rm DS} = 1.9{\;\rm V} - V_{\rm X}$\\
当 $V_{\rm X} < 1.9{\;\rm V}$ 时PMOS源漏对调，$V_{\rm GS} = -0.9{\;\rm V}$，$V_{\rm DS} = V_{\rm X} - 1.9{\;\rm V}$

\begin{enum}
\item 当 $1.9{\;\rm V} < V_{\rm X} < 3.0{\;\rm V}$ 时为线性区
    \begin{align*}
        &I_{\rm X} = I_{\rm D}
                   = \frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \big[2(V_{\rm GS} - V_{\rm TH})V_{\rm DS} - V_{\rm DS}^2\big]
                   = \frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} 
                     \big[2(1.8{\;\rm V} - V_{\rm X})(1.9{\;\rm V} - V_{\rm X}) - (1.9{\;\rm V} - V_{\rm X})^2\big] \\ 
        &g_{\rm m} = -\frac{\partial I_{\rm D}}{\partial V_{\rm GS}}
                   = -\mu_pC_{\rm ox} \frac{W}{L} V_{\rm DS}
                   = -\mu_pC_{\rm ox} \frac{W}{L} \cdot (1.9{\;\rm V} - V_{\rm X})
    \end{align*}
\item 当 $1.8{\;\rm V} < V_{\rm X} < 1.9{\;\rm V}$ 时为线性区（源漏对调）
    \begin{align*}
        &I_{\rm X} = - I_{\rm D}
                   = -\frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \big[2(V_{\rm GS} - V_{\rm TH})V_{\rm DS} - V_{\rm DS}^2\big]
                   = -\frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} 
                   \big[-0.2{\;\rm V} \cdot (V_{\rm X}-1.9{\;\rm V}) - (V_{\rm X}-1.9{\;\rm V})^2\big]\\
        &g_{\rm m} = -\frac{\partial I_{\rm X}}{\partial V_{\rm GS}}
                   = \mu_pC_{\rm ox} \frac{W}{L} V_{\rm DS}
                   = \mu_pC_{\rm ox} \frac{W}{L} \cdot (V_{\rm X} - 1.9{\;\rm V})
    \end{align*}
\item 当 $0.0{\;\rm V} < V_{\rm X} < 1.8{\;\rm V}$ 时为饱和区（源漏对调）
    \begin{align*}
        &I_{\rm X} = -I_{\rm D} 
                   = -\frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})^2
                   = -\frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \cdot 0.01 {\;\rm V^2} \\
        &g_{\rm m} = -\frac{\partial I_{\rm X}}{\partial V_{\rm GS}}
                   = \mu_pC_{\rm ox} \frac{W}{L} V_{\rm GS}
                   = \mu_pC_{\rm ox} \frac{W}{L} \cdot (-0.9{\;\rm V})
    \end{align*}
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 8cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$I_X$},
            xmin = 0, xmax=3.5, ymin=-0.02, ymax=0.1,
            legend style={at={(0.05,0.85)}, anchor=north west}
        ]
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=0.0:1.8] {-0.01};
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=1.8:1.9] {0.2*(x-1.9)+(x-1.9)^2};
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=1.9:3.0] {2*(1.8-x)*(1.9-x) - (1.9-x)^2};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \hspace{2cm}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 8cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$g_{\rm m}$},
            xmin = 0, xmax=3.5, ymin=-0.24, ymax=1.2,
            legend style={at={(0.05,0.85)}, anchor=north west}
        ]
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=0.0:1.8] {-0.1};
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=1.8:1.9] {(x-1.9)};
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=1.9:3.0] {x-1.9};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{习题2.5(d)答案草图}
    \label{fig:习题2.5(d)答案草图}
\end{figure}

\subsubsection{Part (e)}
由电路图可得：$V_{\rm GS} = 0.9{\;\rm V}$，$V_{\rm DS} = 0.5{\;\rm V}$\\
考虑体效应（$V_{\rm SB} = 1{\;\rm V} - V_{\rm X}$）时的阈值电压为：
\begin{align*}
    V_{\rm TH} &= V_{\rm TH0} + \gamma\left(\sqrt{2\phi_{\rm F} + V_{\rm SB}} - \sqrt{2\phi_{\rm F}}\right) \\
               &= 0.7 + 0.45\left(\sqrt{1.9-V_{\rm X}} - \sqrt{0.9}\right)\quad (\rm V)
\end{align*}
当 $V_{\rm X}$ 足够小时$V_{\rm TH}$ 足够大，NMOS器件关断，此时$V_{\rm X}$ 的范围可用下式求得：
\begin{align*}
    0.9 &< 0.7 + 0.45\left(\sqrt{1.9-V_{\rm X}} - \sqrt{0.9}\right)
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    V_{\rm X} < -0.041{\;\rm V}
\end{align*}
当 $V_{\rm GS} - V_{\rm TH} < V_{\rm DS}$ 时NMOS处于饱和区，此时 $V_{\rm X}$ 的范围可由下式求得：
\begin{align*}
    0.9 - \left[0.7 + 0.45\left(\sqrt{1.9-V_{\rm X}} - \sqrt{0.9}\right) \right] < 0.5
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    V_{\rm X} < 1.820{\;\rm V}
\end{align*}
其它情况NMOS处于线性区

\begin{enum}
\item 当 $0.0{\;\rm V} < V_{\rm X} < 1.82{\;\rm V}$ 时为饱和区 
    \begin{align*}
        &I_{\rm X} = I_{\rm D}
                   = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})^2 
                   = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \left[0.2 - 0.45\left(\sqrt{1.9-V_{\rm X}} - \sqrt{0.9}\right)\right]^2 
                     \qquad\;\,({\rm A}) \\
        &g_{\rm m} = \frac{\partial I_{\rm D}}{\partial V_{\rm GS}}
                   = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} \cdot (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})
                   = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} \cdot \left[0.2 - 0.45\left(\sqrt{1.9-V_{\rm X}} - \sqrt{0.9}\right)\right]
                     \quad({\rm S})
    \end{align*}
\item 当 $1.82{\;\rm V} < V_{\rm X} < 1.9{\;\rm V}$ 时为线性区
    \begin{align*}
        I_{\rm X}&= I_{\rm D}
                  = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \left[2(V_{\rm GS} - V_{\rm TH})V_{\rm DS} - V_{\rm DS}^2\right] \\
                 &= \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} 
                    \left[0.2 - 0.45\left(\sqrt{1.9-V_{\rm X}} - \sqrt{0.9}\right)- 0.25\right]  \qquad ({\rm A})\\
        g_{\rm m}&= \frac{\partial I_{\rm D}}{\partial V_{\rm GS}}
                  = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} V_{\rm DS} 
                  = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} \cdot 0.5 {\;\rm V}
    \end{align*}
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 8cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$I_X$},
            xmin = 0, xmax=3.5, ymin=-0.0, ymax=0.5,
            legend style={at={(0.05,0.85)}, anchor=north west}
        ]
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=0.00:1.82] {(0.2-0.45*(sqrt(1.9-x)-sqrt(0.9)))^2};
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=1.82:1.90] {0.2-0.45*(sqrt(1.9-x)-sqrt(0.9)) - 0.25};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \hspace{2cm}
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 8cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$g_{\rm m}$},
            xmin = 0, xmax=3.5, ymin=-0.0, ymax=0.8,
            legend style={at={(0.05,0.85)}, anchor=north west}
        ]
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=0.00:1.82] {0.2-0.45*(sqrt(1.9-x)-sqrt(0.9))};
        \addplot[thick, blue, samples=100, domain=1.82:1.90] {0.5};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{习题2.5(e)答案草图}
    \label{fig:习题2.5(e)答案草图}
\end{figure}

\subsection{习题 2.16}

Consider the structure shown in Fig. \!2.55. Determine $I_{\rm D}$, as a function of $V_{\rm GS}$ and $V_{\rm DS}$,
and prove that the structure can be viewed as a single transistor having an aspect ratio W/(2L).
Assume that $\lambda = \gamma = 0$.
\begin{center}
    \includegraphics[width=0.15\textwidth]{figures/Figure_2_55.pdf}
\end{center}
假定下方的NMOS编号1，上方的NMOS编号2\\
假定两NMOS连接处的电平为 $V$
\begin{align*}
    V_{\rm GS1} &= V_{\rm GS} &
    V_{\rm GS2} &= V_{\rm GS} - V \\
    V_{\rm DS1} &= V &
    V_{\rm DS2} &= V_{\rm DS} - V 
\end{align*}

\subsubsection{电路整体处于截止区}
当$V_{\rm GS} < V_{\rm TH}$时 NMOS-1 截止，$V$必将抬升至 NMOS-2 也截止，电路整体截止

\subsubsection{电路整体处于饱和区}
当$V_{\rm GS} > V_{\rm TH}$ 且 $V_{\rm DS} > V_{\rm GS} - V_{\rm TH}$时 NMOS-1 导通

假定 NMOS-1处于饱和区则 $V_{\rm DS1} > V_{\rm GS1} - V_{\rm TH}$ 可得 $V > V_{\rm GS} - V_{\rm TH}$\\
则 NMOS-2 有 $V_{\rm GS2} = V_{\rm GS} - V < V_{\rm TH}$ 处于截止区
\begin{align*}
    I_{\rm D1} &= \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})^2 &
    I_{\rm D2} &= 0
\end{align*}
显然 $I_{\rm D1} > I_{\rm D2}$，此工况无法存在，因此 NMOS-1 处于线性区

若 NMOS-1 线性则 $V_{\rm DS1} < V_{\rm GS1} - V_{\rm TH}$ 可得 $V < V_{\rm GS} - V_{\rm TH}$\\
则 NMOS-2 因 $V_{\rm GS2} = V_{\rm GS} - V > V_{\rm TH}$ 而导通，此时有：
$$
\left\{
\begin{aligned}
&V_{\rm DS} > V_{\rm GS} - V_{\rm TH}\\
&V_{\rm DS2} = V_{\rm DS} - V \\
&V_{\rm GS2} = V_{\rm GS} - V 
\end{aligned}
\right.
\qquad\Longrightarrow\qquad 
V_{\rm DS2} > V_{\rm GS2} - V_{\rm TH}
$$
综上，在电路整体处于饱和区时，NMOS-1处于线性区，NMOS-2处于饱和区，此时有：
\begin{align*}
    I_{\rm D1} &= \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \left[2(V_{\rm GS}-V_{\rm TH})V - V^2\right] \\ 
    I_{\rm D2} &= \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} (V_{\rm GS} - V - V_{\rm TH})^2
\end{align*}
利用 $I_{\rm D} = I_{\rm D1} = I_{\rm D2}$ 可解得：
\begin{align*}
    V &= \frac{2-\sqrt 2}{2}(V_{\rm GS} - V_{\rm TH}) & 
    I_{\rm D} &= \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \frac{1}{2}(V_{\rm GS} - V_{\rm TH})^2
\end{align*}

综上，当$V_{\rm GS} > V_{\rm TH}$ 且 $V_{\rm DS} > V_{\rm GS} - V_{\rm TH}$ 时电路整体满足饱和区NMOS电流电压方程\\
电路整体相当于一个长宽比为 $L/2W$ 的处于饱和区NMOS

\subsubsection{电路整体处于线性区}
当$V_{\rm GS} > V_{\rm TH}$ 且 $V_{\rm DS} < V_{\rm GS} - V_{\rm TH}$时 NMOS-1 导通\\
与上文同理可得 NMOS-1 处于线性区，NMOS-2处于线性区，此时有：
\begin{align*}
    I_{\rm D1} &= \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \left[2(V_{\rm GS}-V_{\rm TH})V - V^2\right] \\ 
    I_{\rm D2} &= \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} 
                  \left[2(V_{\rm GS}-V-V_{\rm TH})(V_{\rm DS}-V) - (V_{\rm DS} - V)^2\right] 
\end{align*}
利用 $I_{\rm D} = I_{\rm D1} = I_{\rm D2}$ 可化简得：
$$
2(V_{\rm GS} - V_{\rm TH})V - V^2 = (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})V_{\rm DS} - \frac{1}{2}V_{\rm DS}
$$
将上式代入 $I_{\rm D1}$ 可化简得：
$$
I_{\rm D} = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \left[(V_{\rm GS}-V_{\rm TH})V_{\rm DS} - V_{\rm DS}^2\right] \\ 
$$
综上，当$V_{\rm GS} > V_{\rm TH}$ 且 $V_{\rm DS} < V_{\rm GS} - V_{\rm TH}$ 时电路整体满足线性区NMOS电流电压方程\\
电路整体相当于一个长宽比为 $L/2W$ 的处于线性区的NMOS

综合以上三种情况，图示电路结构可被视为一个长宽比为 $W/2L$ 的单一NMOS晶体管

\subsection{习题 2.18}

Explain why the structures shown in Fig. \!2.56 cannot operate as current sources even though the transistors
are in saturation.

\begin{center}
   \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figures/Figure_2_56.pdf}
\end{center}

两者的工况依赖于源端电压\\
以图(b)为例，假设源端电压为 $V_0$ 则在 $V_{\rm DD} - V_0 > V_{\rm TH}$ 时NMOS处于饱和区，此时：
$$
I_{\rm 2} = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} (V_{\rm DD} - V_0 - V_{\rm TH})^2
$$
可见，当 $I_2$ 随$V_0$的变化而变化，这与理想电压源的特性相悖，图(a)同理

\subsection{习题 2.20}

A “ring” MOS structure is shown in Fig. \!2.57. \\
Explain how the device operates and estimate its equivalent aspect ratio.\\
Compare the drain junction capacitance of this structure with that of the devices shown in Fig. \!2.33.

\begin{center}
   \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figures/Figure_2_33.pdf}
   \hspace{1cm}
   \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figures/Figure_2_57.pdf}
\end{center}

若忽略栅极的四角部分，则其余部分可视为4个沟道长 $L$ 宽 $W$ 的MOSFET结构并联\\
根据MOSFET的伏安特性关系，这等效于一个沟道长 $L$ 宽 $4W$ 的MOSFET结构

Fig. \!2.57 所示结构的漏极结电容为
$$
C_{\rm DB} = W^2C_{\rm j} + 4W C_{\rm jsw}
$$
Fig. \!2.33(a) 所示结构的漏极结电容为（沟道宽度改为 $4W$）
$$
C_{\rm DB} = 4WEC_{\rm j} + 2(E+4W) C_{\rm jsw}
$$
Fig. \!2.33(b) 所示结构的漏极结电容为（沟道宽度改为 $4W$）
$$
C_{\rm DB} = {2W} EC_{\rm j} + 2(2W+E) C_{\rm jsw}
$$

\subsection{习题2.24}

Sketch $I_X$ versus $V_X$ for each of the composite structures shown in Fig. \!2.58 with $V_{\rm G}$ as a parameter.\\
Also, sketch the equivalent transconductance. Assume that $\lambda = \gamma = 0$.

\begin{center}
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figures/Figure_2_58.pdf}
\end{center}

\subsubsection{Part (a)}

由电路图易得：
\begin{align*}
    V_{\rm GSN} &= V_{\rm G} &
    V_{\rm GSP} &= V_{\rm G} - V_{\rm X}\\
    V_{\rm DSN} &= V_{X} &
    V_{\rm DSP} &= -V_X
\end{align*}

\paragraph{当NMOS截止时}
当 $V_{\rm G} < V_{\rm THN}$ 时 NMOS截止，$I_X$ 与 $V_X$ 关系由 PMOS 决定
\begin{enum}
\item 若PMOS处于截止区则 $V_{\rm GSP} > V_{\rm THP}$ 即 $0 < V_X < V_{\rm G} - V_{\rm THP}$
\item 当PMOS导通时由于 $V_{\rm G} > 0 > V_{\rm THP}$ 得 $V_{\rm DSP} < V_{\rm GSP} - V_{\rm THP}$，PMOS处于饱和区
\end{enum}

$$
\begin{aligned}
I_{X} &= 
\left\{
\begin{aligned}
    &0, & V_X < V_{\rm G} - V_{\rm THP} \\ 
    &\frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2}\frac{W}{L}(V_{\rm G} - V_X -V_{\rm THP})^2,
    &V_X > V_{\rm G} - V_{\rm THP}
\end{aligned}
\right. \\
g_{\rm m} &= 
\left\{
\begin{aligned}
    &0, & V_X < V_{\rm G} - V_{\rm THP} \\ 
    &\mu_pC_{\rm ox}\frac{W}{L}(V_{\rm G} - V_X -V_{\rm THP}),
    &V_X > V_{\rm G} - V_{\rm THP}
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
$$
可绘制图像如图 \ref{fig:以VG为参数的IX-VX关系图},\ref{fig:以VG为变参的gm-VX关系图} 所示，
两图中曲线非零值起始点均为对应的 $V_{\rm G} - V_{\rm THP}$
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 10cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$I_X$},
            xmin = 0, xmax=3, ymin=0, ymax=10,
            legend style={at={(0.05,0.85)}, anchor=north west}
        ]
        \addplot[thick, samples=100, black,domain=1.5:3] {(3*0.5-x)^2};
        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=1.0:3] {(2*0.5-x)^2};
        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=0.5:3] {(1*0.5-x)^2};
        \legend{$V_{\rm G1}$,$V_{\rm G2}$,$V_{\rm G3}$}
        \addplot[thick, black, domain=0:1.5] {0};
        \addplot[thick, blue , domain=0:1.0] {0};
        \addplot[thick, red  , domain=0:0.5] {0};
        \draw (axis cs:0.12,4.5) node[anchor=west] {$V_{\rm G3} < V_{\rm G2} < V_{\rm G1} < V_{\rm THN}$};
        %\draw (axis cs:1.5, 0) node[below] {$V_{\rm G3}-V_{\rm THP}$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{以$V_{\rm G}$为参数的$I_X-V_{X}$关系图（NMOS截止）}
    \label{fig:以VG为参数的IX-VX关系图}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 10cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$g_{\rm m}$},
            xmin = 0, xmax=3, ymin=-3, ymax=1,
            legend style={at={(0.05,0)}, anchor=south west}
        ]
        \addplot[thick, samples=100, black,domain=1.5:3] {(3*0.5-x)};
        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=1.0:3] {(2*0.5-x)};
        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=0.5:3] {(1*0.5-x)};
        \legend{$V_{\rm G1}$,$V_{\rm G2}$,$V_{\rm G3}$}
        \addplot[thick, black, domain=0:1.5] {0};
        \addplot[thick, blue , domain=0:1.0] {0};
        \addplot[thick, red  , domain=0:0.5] {0};
        \draw (axis cs:0.12,-1.4) node[anchor=west] {$V_{\rm G3} < V_{\rm G2} < V_{\rm G1} < V_{\rm THN}$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{以$V_{\rm G}$为变参的$g_{\rm m}-V_{X}$关系图（NMOS截止）}
    \label{fig:以VG为变参的gm-VX关系图}
\end{figure}

\paragraph{当NMOS导通时}
当 $V_{\rm G} > V_{\rm THN}$ 时 NMOS 导通，分别考虑NMOS与PMOS的工况可得：
\begin{enum}
\item 当 $0<V_X<V_{\rm G}-V_{\rm THN}$ 时 NMOS 线性导通，PMOS截止
    \begin{align*}
        I_X &= I_{\rm DN} = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W_{\rm N}}{L_{\rm N}}\big[2(V_{\rm G}-V_{\rm THN})V_X - V_X^2\big]\\
        g_{\rm m} &= g_{\rm mN} = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W_{\rm N}}{L_{\rm N}} V_X
    \end{align*}
\item 当 $V_{\rm G} - V_{\rm THN} < V_X < V_{\rm G} - V_{\rm THP}$ 时NMOS饱和导通，PMOS截止
    \begin{align*}
        I_X &= I_{\rm DN} = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W_{\rm N}}{L_{\rm N}}(V_{\rm G}-V_{\rm THN})^2\\
        g_{\rm m} &= g_{\rm mN} = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W_{\rm N}}{L_{\rm N}} (V_{\rm G} - V_{\rm THN})
    \end{align*}
\item 当 $V_X > V_{\rm G} - V_{\rm THP}$ 时NMOS饱和导通，PMOS饱和导通
    \begin{align*}
        I_X &= I_{\rm DN} + I_{\rm PN} 
             = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W_{\rm N}}{L_{\rm N}}(V_{\rm G}-V_{\rm THN})^2
             + \frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2} \frac{W_{\rm P}}{L_{\rm P}}(V_{\rm G}-V_X-V_{\rm THP})^2 \\
        g_{\rm m} &= \frac{\partial I_X}{\partial V_{\rm G}}
             = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W_{\rm N}}{L_{\rm N}} (V_{\rm G} - V_{\rm THN})
             + \mu_pC_{\rm ox} \frac{W_{\rm P}}{L_{\rm P}} (V_{\rm G} - V_X - V_{\rm THP})
    \end{align*}
\end{enum}

可绘制图像如图 \ref{fig:以VG为变参的IX-VX关系图（NMOS导通）},\ref{fig:以VG为变参的gm-VX关系图（NMOS导通）} 所示，
两图中曲线分段点均为对应的 $V_{\rm G} - V_{\rm THN},\;V_{\rm G} - V_{\rm THP}$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 10cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$I_X$},
            xmin = 0, xmax=4.0, ymin=0, ymax=5.0,
            legend style={at={(0.05,0)}, anchor=south west}
        ]
        \addplot[thick, samples=100, teal ,domain=0.0:0.3] {2*(2*(1.0-0.7)*x - x^2)};
        \addplot[thick, samples=100, teal ,domain=0.3:1.8] {2*(1.0-0.7)^2};
        \addplot[thick, samples=100, teal ,domain=1.8:4.0] {2*(1.0-0.7)^2 + 1*(1.0-x+0.8)^2};

        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=0.0:0.8] {2*(2*(1.5-0.7)*x - x^2)};
        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=0.8:2.3] {2*(1.5-0.7)^2};
        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=2.3:4.0] {2*(1.5-0.7)^2 + 1*(1.5-x+0.8)^2};

        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=0.0:1.3] {2*(2*(2.0-0.7)*x - x^2)};
        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=1.3:2.8] {2*(2.0-0.7)^2};
        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=2.8:4.0] {2*(2.0-0.7)^2 + 1*(2.0-x+0.8)^2};

        %\legend{$V_{\rm G1}$,$V_{\rm G2}$,$V_{\rm G3}$}
        \draw (axis cs:1.0,4.5) node[anchor=west] 
            {${\color{red}V_{\rm G3}} > {\color{blue}V_{\rm G2}} > {\color{teal}V_{\rm G1}} > V_{\rm THN}$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{以$V_{\rm G}$为变参的$I_X-V_{X}$关系图（NMOS导通）}
    \label{fig:以VG为变参的IX-VX关系图（NMOS导通）}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 10cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$g_{\rm m}$},
            xmin = 0, xmax=4.0, ymin=-2, ymax=4.0,
            legend style={at={(0.05,0)}, anchor=south west}
        ]
        \addplot[thick, samples=100, teal ,domain=0.0:0.3] {2*x};
        \addplot[thick, samples=100, teal ,domain=0.3:1.8] {2*(1.0-0.7)};
        \addplot[thick, samples=100, teal ,domain=1.8:4.0] {2*(1.0-0.7) + 1*(1.0-x+0.8)};

        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=0.0:0.8] {2*x};
        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=0.8:2.3] {2*(1.5-0.7)};
        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=2.3:4.0] {2*(1.5-0.7) + 1*(1.5-x+0.8)};

        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=0.0:1.3] {2*x};
        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=1.3:2.8] {2*(2.0-0.7)};
        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=2.8:4.0] {2*(2.0-0.7) + 1*(2.0-x+0.8)};

        %\legend{$V_{\rm G1}$,$V_{\rm G2}$,$V_{\rm G3}$}
        \draw (axis cs:1.0,3.5) node[anchor=west] 
            {${\color{red}V_{\rm G3}} > {\color{blue}V_{\rm G2}} > {\color{teal}V_{\rm G1}} > V_{\rm THN}$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{以$V_{\rm G}$为变参的$g_{\rm m}-V_{X}$关系图（NMOS导通）}
    \label{fig:以VG为变参的gm-VX关系图（NMOS导通）}
\end{figure}

\subsubsection{Part (b)}
假定NMOS与PMOS漏极连接处的电压为 $V$，则：
\begin{align*}
    V_{\rm GSN} &= V_{\rm G} &
    V_{\rm GSP} &= V_{\rm G} - V_X \\
    V_{\rm DSN} &= V &
    V_{\rm DSP} &= V - V_X
\end{align*}

若 $V_{\rm G} < V_{\rm THN}$ 则NMOS截止，此时显然有：
\begin{align*}
    I_X &=0 &
    g_{\rm m} &= 0
\end{align*}

若 $V_{\rm G} > V_{\rm THN}$ 则NMOS导通，此时需讨论PMOS的工况

\paragraph{当PMOS截止时}
若PMOS截止则 $0 < V_X < V_{\rm G} - V_{\rm THP}$，此时：
\begin{align*}
    I_X &=0 &
    g_{\rm m} &= 0
\end{align*}

\paragraph{当PMOS饱和导通时}
已知：$V_{\rm G} > V_{\rm THN}$使NMOS导通， $V_X > V_{\rm G} - V_{\rm THP}$使 PMOS导通

若PMOS饱和导通则
$$
V_{\rm DSP} < V_{\rm GSP} - V_{\rm THP} 
\qquad\Longrightarrow\qquad 
V < V_{\rm G} - V_{\rm THP}
$$
考虑到 $0 < V_{\rm G} - V_{\rm THN} < V_{\rm G} - V_{\rm THP} < V_X$ 下面讨论 $V$ 与 $V_{\rm G} - V_{\rm THN}$ 的大小关系

\begin{enum}
\item 当 $0 < V < V_{\rm G} - V_{\rm THN}$ 时可得NMOS处于线性区，又已知PMOS处于饱和区
    \begin{align*}
        I_{\rm DN} &= \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W_{\rm N}}{L_{\rm N}} \big[2(V_{\rm G} - V_{\rm THN})V - V^2\big] \\ 
        I_{\rm DP} &= \frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2} \frac{W_{\rm P}}{L_{\rm P}} (V_{\rm G} - V_X - V_{\rm THP})^2
    \end{align*}
    假设 $\mu_nW_{\rm N}/L_{\rm N} = k_{n}$， $\mu_pW_{\rm P}/L_{\rm P} = k_{p}$，
    由 $I_{\rm D} = I_{\rm DN} = I_{\rm DP}$ 可得：
    $$
    k_{n} V^2 - 2k_{n} (V_{\rm G} - V_{\rm THN})V + k_{p} (V_{\rm G} - V_{\rm THP}- V_X )^2 = 0
    $$
    令此一元二次方程有解，则
    $$
    \Delta = 4k_n^2(V_{\rm G} - V_{\rm THN})^2 - 4k_nk_p(V_{\rm G} - V_{\rm THP} - V_X)^2 > 0
    $$
    已知：$V_{\rm G} > V_{\rm THN}$使NMOS导通， $V_X > V_{\rm G} - V_{\rm THP}$使 PMOS导通，$k_n k_p >0$，可得：
    $$
    V_{\rm G} - V_{\rm THP} < V_X < V_{\rm G} - V_{\rm THP} 
      + \sqrt{\frac{\mu_n}{\mu_p}\frac{W_{\rm N}/L_{\rm N}}{W_{\rm P}/L_{\rm P}}} \cdot (V_{\rm G} - V_{\rm THN})
    $$
    此时$I_X$ 为 
    \begin{align*}
        I_{X} &= I_{\rm DP} = \frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2} \frac{W_{\rm P}}{L_{\rm P}} (V_{\rm G} - V_X - V_{\rm THP})^2\\
        g_{\rm m} &= \frac{\partial I_X}{\partial V_{\rm G}}
                   = \mu_pC_{\rm ox} \frac{W_{\rm P}}{L_{\rm P}}(V_{\rm G} - V_X - V_{\rm THP})  
    \end{align*}

\item 当 $V > V_{\rm G} - V_{\rm THN}$ 时可得NMOS处于饱和区，又已知PMOS处于饱和区
    \begin{align*}
        I_{\rm DN} &= \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W_{\rm N}}{L_{\rm N}} (V_{\rm G} - V_{\rm THN})^2 \\
        I_{\rm DP} &= \frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2} \frac{W_{\rm P}}{L_{\rm P}} (V_{\rm G} - V_X - V_{\rm THP})^2
    \end{align*}
    由 $I_X = I_{\rm DP} = I_{\rm DN}$ 解得：
    $$
    V_X = V_{\rm G} - V_{\rm THP} + \sqrt{\frac{\mu_n}{\mu_p}\frac{W_{\rm N}/L_{\rm N}}{W_{\rm P}/L_{\rm P}}}
    \cdot (V_{\rm G} - V_{\rm THN})
    $$
    此工况可合并至上一个工况中
\end{enum}

\paragraph{当PMOS线性导通时}
已知：$V_{\rm G} > V_{\rm THN}$使NMOS导通， $V_X > V_{\rm G} - V_{\rm THP}$使 PMOS导通

若PMOS线性导通则 $V > V_{\rm G} - V_{\rm THP}$，也就是说
$$
0 < V_{\rm G} - V_{\rm THN} < V_{\rm G} - V_{\rm THP} < V < V_X
\qquad\Longrightarrow\qquad 
V_{\rm DSN} > V_{\rm G} - V_{\rm THN}
$$
因此NMOS处于饱和区，又已知PMOS处于线性区
\begin{align*}
    I_{\rm DN} &= \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W_{\rm N}}{L_{\rm N}} (V_{\rm G} - V_{\rm THN})^2 \\
    I_{\rm DP} &= \frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2} \frac{W_{\rm P}}{L_{\rm P}} \big[2(V_{\rm G} - V_X - V_{\rm THP})(V-V_X)-(V-V_X)^2\big]
\end{align*}
由于这是剩余的唯一一种可能的工况，因此其出现范围就是其它工况出现范围的补集
$$
V_X > V_{\rm G} - V_{\rm THP} + \sqrt{\frac{\mu_n}{\mu_p}\frac{W_{\rm N}/L_{\rm N}}{W_{\rm P}/L_{\rm P}}}
\cdot (V_{\rm G} - V_{\rm THN})
$$
此时
\begin{align*}
    I_X &= I_{\rm DN} = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W_{\rm N}}{L_{\rm N}} (V_{\rm G} - V_{\rm THN})^2 \\
    g_{\rm m} &= \frac{\partial I_X}{\partial V_{\rm G}} = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W_N}{L_N} (V_{\rm G} - V_{\rm THN})
\end{align*}

综上，在$V_{\rm G} > V_{\rm THN}$ 使NMOS导通的情况下 $I_X, g_{\rm m}$ 随 $V_X$ 的关系曲线如图 
\ref{fig:2_24b以VG为参数的IX-VX关系图（NMOS导通）}, \ref{fig:2_24b以VG为参数的gm-VX关系图（NMOS导通）} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 10cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$I_X$},
            xmin = 0, xmax=4.5, ymin=0, ymax=3.0,
            legend style={at={(0.05,0)}, anchor=south west}
        ]

        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=0.0:2.2] {0};
        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=2.2:3.6] {1*(1.4 + 0.8 - x)^2};
        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=3.6:4.5] {4*(1.4 - 0.7)^2};

        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=0.0:2.0] {0};
        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=2.0:3.0] {1*(1.2 + 0.8 - x)^2};
        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=3.0:4.5] {4*(1.2 - 0.7)^2};

        \addplot[thick, samples=100, teal ,domain=0.0:1.8] {0};
        \addplot[thick, samples=100, teal ,domain=1.8:2.4] {1*(1.0 + 0.8 - x)^2};
        \addplot[thick, samples=100, teal ,domain=2.4:4.5] {4*(1.0 - 0.7)^2};

        %\legend{$V_{\rm G1}$,$V_{\rm G2}$,$V_{\rm G3}$}
        \draw (axis cs:1.0,2.5) node[anchor=west] 
            {${\color{red}V_{\rm G3}} > {\color{blue}V_{\rm G2}} > {\color{teal}V_{\rm G1}} > V_{\rm THN}$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{以$V_{\rm G}$为参数的$I_X-V_{X}$关系图（NMOS导通）}
    \label{fig:2_24b以VG为参数的IX-VX关系图（NMOS导通）}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            height = 6cm, width = 10cm, ticks=none,
            axis x line=center, axis y line=center,
            xlabel = {$V_X$}, ylabel = {$I_X$},
            xmin = 0, xmax=4.5, ymin=-1.5, ymax=3.0,
            legend style={at={(0.05,0)}, anchor=south west}
        ]
        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=0.0:2.2] {0};
        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=2.2:3.6] {1*(1.4 + 0.8 - x)};
        \addplot[thick, samples=100, red  ,domain=3.6:4.5] {4*(1.4 - 0.7)};
        \draw[thick, red ] (axis cs: 3.6, -1.4) -- (axis cs: 3.6, 2.8);

        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=0.0:2.0] {0};
        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=2.0:3.0] {1*(1.2 + 0.8 - x)};
        \addplot[thick, samples=100, blue ,domain=3.0:4.5] {4*(1.2 - 0.7)};
        \draw[thick, blue] (axis cs: 3.0, -1.0) -- (axis cs: 3.0, 2.0);

        \addplot[thick, samples=100, teal ,domain=0.0:1.8] {0};
        \addplot[thick, samples=100, teal ,domain=1.8:2.4] {1*(1.0 + 0.8 - x)};
        \addplot[thick, samples=100, teal ,domain=2.4:4.5] {4*(1.0 - 0.7)};
        \draw[thick, teal] (axis cs: 2.4, -0.6) -- (axis cs: 2.4, 1.2);

        %\legend{$V_{\rm G1}$,$V_{\rm G2}$,$V_{\rm G3}$}
        \draw (axis cs:1.0,2.5) node[anchor=west] 
            {${\color{red}V_{\rm G3}} > {\color{blue}V_{\rm G2}} > {\color{teal}V_{\rm G1}} > V_{\rm THN}$};
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{以$V_{\rm G}$为参数的$g_{\rm m}-V_{X}$关系图（NMOS导通）}
    \label{fig:2_24b以VG为参数的gm-VX关系图（NMOS导通）}
\end{figure}

\subsection{习题 2.25}
An NMOS current source with $I_{\rm D} = 0.5 {\;\rm mA}$ must operate with drain-source voltages as low as $0.4 \;\rm V$.\\
If the minimum required output impedance is $20 \;\mathrm k\Omega$, determine the width and length of the device.\\
Calculate the gate-source, gate-drain, and drain-substrate capacitance if the device is folded as in Fig. \!2.33 
and $E=3 \;\rm \mu m$.

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{circuitikz}
        \ctikzset{tripoles/mos style/arrows}
        \draw (0,0) node[nmos] (NMOS) {};
        \draw (NMOS.G) to[short,-o] ++(-1,0) node[left] {$V_{\rm G}$};
        \draw (NMOS.S) -- ++(0,-0.5) node[tlground] {}; 
        \draw (NMOS.D) ++(0,0.5) coordinate(VDD) node[tground] {} to[short,i=$I_{\rm D}$] (NMOS.D);
        \draw (VDD) node[above] {$V_{\rm DD} = 0.4{\;\rm V}$};
    \end{circuitikz}
    \caption{习题2.25 电路图}
    \label{fig:习题2.25 电路图}
\end{figure}

为让 $V_{\rm DS}$ 可以尽可能低，取饱和区边界 $V_{\rm DS} = V_{\rm GS} - V_{\rm TH} = 0.4{\;\rm V}$\\
此时的输出电阻经验证符合要求
$$
r_{\rm o} = 1\bigg / \left[ \frac{1}{2} \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})^2 \lambda\right] 
= 20.8 {\;\mathrm k\Omega} > 20\;\mathrm k\Omega
$$
用漏极电流反解出 $W/L$
$$
I = \frac{1}{2} \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})^2 (1+\lambda V_{\rm DS}) = 0.5\;{\rm mA}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\frac{W}{L} = 44.7
$$
不妨按如下参数设计
\begin{align*}
    L_{\rm draw} = 0.5{\;\mu\mathrm m} 
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    L_{\rm eff} = L_{\rm draw} - 2L_{\rm D} = 0.34{\;\mu\mathrm m}
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    W = 44.7L_{\rm eff} =15.2{\;\mu\mathrm m}
\end{align*}

此时在饱和区各寄生电容值为
\begin{align*}
    C_{\rm GS} &= \frac{2}{3} WLC_{\rm ox} + WC_{\rm ov} = 19.31 {\;\rm fF}\\
    C_{\rm GD} &= WC_{\rm ov} = 6.08 {\;\rm fF}\\
    C_{\rm DB} &= \frac{W}{2}EC_{\rm j} + (W+2E)C_{\rm jsw} = 12.84{\;\rm fF}
\end{align*}


\subsection{习题 2.27}
An NMOS device operating in the subthreshold region has a $\zeta$ of 1.5. \\
What variation in $V_{\rm GS}$ results in a tenfold change in $I_{\rm D}$? \\
If $I_{\rm D} = 10{\;\rm \mu A}$, what is $g_{\rm m}$?


若$I_{\rm D}$ 有10倍改变量，则：
$$
\begin{aligned}
I_{\rm D} = I_0 \exp\left( \frac{V_{\rm GS}}{\zeta V_{\rm T}}\right)
&\qquad\Longrightarrow\qquad 
\exp\left( \frac{\Delta V_{\rm GS}}{\zeta V_{\rm T}}\right) = 10 \\
&\qquad\Longrightarrow\qquad 
\Delta V_{\rm GS} = \zeta V_{\rm T} \ln(10) = 0.09 {\;\rm V}
\end{aligned}
$$
跨导
$$
g_{\rm m} = \frac{\partial I_{\rm D}}{\partial V_{\rm GS}} = \frac{I_0}{\zeta V_{\rm T}}
\exp\left( \frac{V_{\rm GS}}{\zeta V_{\rm T}}\right)
=\frac{I_{\rm D}}{\zeta V_{\rm T}} = 256.4 {\;\rm \mu A / V}
$$
